Preambul: Benoît B. Mandelbrot (n. 20 noiembrie 1924, Varșovia, Polonia – d. 14 octombrie 2010, Cambridge, Massachusetts, SUA) a făcut parte din Grupul Bourbaki https://www.bourbaki.fr/index-en.html
”Norii nu sunt sfere, munții nu sunt conuri. Fulgerul nu călătorește în linie dreaptă. Noua Geometrie reprezintă un Univers colțuros, nu rotunjit, rugos, nu neted. Este o geometrie a suprafețelor găurite, ciupite și fragmentate, răsucite, încâlcite și împletite...FRACTAL însemna similar cu sine însuși” ( în James Gleick. HAOS. Nașterea unei noi științe. pp. 132-143). https://www.publica.ro/james-gleick-haos.html
Mandelbrot, Benoit B. The fractal geometry of nature. https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno
GEOMETRIA ARTERELOR ȘI A VENELOR
Ca să citez din Harvey, 1628: "Mișcarea sângelui putem să o numim circulară, în același mod în care Aristotel spunea că aerul și ploaia emulează mișcarea circulară a corpurilor superioare... Și în mod similar în corp, prin intermediul mișcării sângelui,... diferitele părți sunt hrănite, îngrijite, însuflețite de sângele mai cald, mai desăvârșit, mai vaporos, mai duhovnicesc și mai hrănitor; care, pe cealaltă parte, datorită contactului său cu aceste părți, se răcește, coagulat și, ca să spunem așa, efemer."
Harvey a condus la o viziune asupra circulației sângelui care afirmă că atât o arteră cât și o venă se găsesc la o distanță mică de aproape fiecare punct al corpului. (a se vedea și Neguțătorul din Veneția.) Această viziune exclude capilarele, dar la o primă aproximație, este mai bine să se ceară să existe atât o arteră cât și o venă în apropierea infinită a fiecărui punct - cu excepția, desigur, a punctelor aflate în interiorul unei artere (sau o venă) sunt împiedicate să fie foarte aproape de o venă (sau o arteră).
Formulat altfel (dar această reformulare face ca rezultatul să sune mult mai ciudat!): fiecare punct din țesutul nevascular ar trebui să se afle la granița dintre cele două rețele de sânge.
Un al doilea factor de proiectare este faptul că sângele este scump. Prin urmare, volumul tuturor arterelor și venelor trebuie să reprezinte un procent mic din volumul corpului, lăsând volumul pentru țesutul gros.
MONȘTRII LEBESGUE-OSGOOD SUNT MONȘTRII ÎNSĂȘI DIN SUBSTANȚA CĂRNII NOASTRE!
Din punct de vedere euclidian, criteriile noastre implică o anomalie rafinată. O formă trebuie să fie topologic bidimensională, pentru că ea formează limita comună a două forme care sunt topologic tridimensionale, dar trebuie să aibă un volum care nu numai că nu este neglijabil în comparație cu volumele formelor pe care le delimitează, ci este mult mai mare!
O virtute a abordării fractale a anatomiei este aceea că arată confirmarea cerințelor de mai sus care sunt perfect compatibile. O variantă spațială a lui Osgood descrisă în penultima secțiune îndeplinește toate cerințele pe care le impunem la proiectarea unui sistem vascular.
În această construcție, venele și arterele sunt domenii standard, deoarece bilele mici (celulele sanguine!) pot fi desenate în întregime în interiorul lor. Pe de altă parte, vasele ocupă doar un mic procent din volumul total. Țesutul este foarte diferit; acesta nu conține nicio bucată, oricât de mică, care să nu fie străbătută atât de artere, cât și de vene. Este o suprafață fractală: dimensiunea sa topologică este 2, iar dimensiunea fractală este 3.
Așa cum sunt reafirmate, aceste proprietăți încetează să mai sune extravagant. Nimănui nu-i pasă că ele au apărut mai întâi într-o fugă matematică artificială dar de bun simț. Eu am arătat că sunt inevitabile din punct de vedere intuitiv, că fractalii Lebesgue-Osgood, acești monștri sunt însăși substanța cărnii noastre!
Suntem de acord că, un domeniu de ramificare A (artere) are un volum de aproximativ 3% din volumul unui domeniu B (corp), dar se presupune că se apropie la infinit de fiecare punct din B, eu argumentez că ramurile din B trebuie să se subțieze mai rapid decât în cazul arborilor autosimilari. Acum că am stabilit că în unele cazuri rata de subțiere este măsurabilă prin A, ne putem întreba dacă Δ este sau nu definită pentru artere.
(...) Combinația dintre tuburile unui plămân și vascularizația sa se dovedește a fi, de asemenea, foarte interesantă, în care trei seturi - artere, vene și bronhiole – au o graniță comună. Primul exemplu al unui astfel de set i se datorează lui Brouwer. Când este introdusă în acest mod, construcția lui Brouwer este în perfect acord cu intuiția.
MAI MULTE DESPRE GEOMETRIA CREIERULUI
Atunci când am discutat despre suprafața creierului în capitolul 12, nu am luat în considerare suprafața rețelei de axoni care unește diferite părți între ele.
Cap. 12. PLIURILE CREIERULUI MAMIFERELOR
Pentru a ilustra relația arie-volum în cazul limită important D=3 (...), haideți să interpretăm o problemă celebră de anatomie comparată în termeni de umplere a spațiului.
Volumele creierului de mamifere variază de la 0,3 la 3000 ml, cortexul animalelor mici fiind relativ sau complet neted, în timp ce cortexul animalelor mari tinde să fie vizibil convolute, indiferent de poziția animalelor pe scara evoluției. Zoologii susțin că proporția de materie albă (formată din axonii neuronilor) în raport cu materia cenușie (în care se termină neuronii) este aproximativ aceeași pentru toate mamiferele și că, pentru a menține acest raport, un creier de dimensiuni mari, cortexul trebuie să se plieze în mod necesar. Știind că gradul de pliere este de origine pur geometrică îl scutește pe om de a se simți amenințat de delfini sau de balenă: aceștia sunt mai mari decât noi, dar nu trebuie și să fie mai evoluați.
Un studiu cantitativ al unei astfel de plieri depășește geometria standard, dar se potrivește minunat în geometria fractală. Volumul materiei cenușii este aproximativ egal cu grosimea sa înmulțită cu suprafața membranei de la suprafața creierului, numită "pia". Dacă grosimea ∈ ar fi aceeași la toate speciile, suprafața pia ar fi proporțională nu numai la volumul materiei cenușii, ci și la volumul materiei albe, deci la volumul total V. Prin urmare, relația arie-volum ar da D=3, iar pia ar fi o suprafață care se află la ∈ de a umple spațiul.
Relația empirică arie-volum se potrivește mai bine prin A ∝ VD/3 cu D/3∼0,91 până la 0,93 (Jerison, comunicare privată, pe baza datelor lui Elias & Schwartz, Brodman și alții). Cea mai imediată interpretare este că pia este doar parțial plină de spațiu, cu D în intervalul cuprins între 2,79 și 2,73.
În cazul cerebelului, axonii unesc suprafața cu exteriorul, și avem de-a face cu o suprafață de materie cenușie care înfășoară un arbore de materie albă. Am revizuit argumentul din capitolul 12 pentru a lua în considerare seama de acest arbore și am constatat că termenii corectivi rezultați în volumul ariei dau o potrivire îmbunătățită a datelor. Dar povestea este prea lungă pentru a fi spusă aici.
RAMIFICAREA NEURONILOR.
Celulele Purkinje din cerebelul mamiferelor sunt practic plate, iar dendritele lor formează un labirint care umple un plan. De la mamifere la porumbel, aligator, broască și pește, gradul de umplere scade (Llinas 1969). Ar fi frumos dacă acest lucru ar corespunde unei scăderi a lui D, dar noțiunea că neuronii sunt fractali rămâne o conjectură.
MEMBRANELE ALVEOLARE ȘI CELULARE
Estimările suprafeței alveolare ale plămânului uman sunt contradictorii: microscopia optică oferă 80m2, în timp ce microscopia electronică susține 140m2. Are importanță această discrepanță? Detaliile fine cărora li se datorează nu joacă niciun rol în ceea ce privește schimbul de gaze, fiind netezite de un strat fluid de căptușeală (rezultând o suprafață funcțională și mai mică), dar sunt importante în ceea ce privește schimburile de substanțe. Măsurătorile (declanșate de lucrarea mea Coasta Marii Britanii) indică, în primă aproximație, că pe o gamă largă de scări, dimensiunea membranei este D=2,17.
Paumgartner & Weibel 1979 examinează membranele subcelulare din celulele hepatice. Din nou, dezacordul puternic din trecut între diferitele estimări ale suprafeței pe volum dispare prin postularea că D=2,09 pentru suprafața mitocondrială exterioară (care înfășoară celula și se îndepărtează doar puțin de la netezimea caracteristică membranelor cu un raport minim de suprafață/volum). Pe de altă parte, D=2,53 pentru membranele mitocondriale interne și D=1,72 pentru membrana reticulului endoplasmatic.
De asemenea, să notăm că structura osului nazal al multor animale este de o extraordinară complexitate, ceea ce permite ca "pielea" care acoperă acest os să aibă o suprafață foarte mare într-un volum mic. La cerb și la vulpea arctică, această membrană poate servi la simțul mirosului, dar (Schmidt-Nielsen 1981) scopul unei formule analoge la cămilă este de a adăposti prețioasa apă.
Dorin Dumitran
